Brachistochrone -kurven: 18 trin (med billeder)

2024 Forfatter: John Day | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-30 08:27

Brachistochron -kurven er et klassisk fysikproblem, der udleder den hurtigste vej mellem to punkter A og B, der er i forskellige højder. Selvom dette problem kan synes simpelt, giver det et kontra-intuitivt resultat og er derfor fascinerende at se. I disse instruktører vil man lære om det teoretiske problem, udvikle løsningen og endelig bygge en model, der demonstrerer egenskaberne ved dette fantastiske fysikprincip.

Dette projekt er designet til gymnasieelever at lave, da de dækker relaterede begreber i teoriklasser. Dette praktiske projekt styrker ikke kun deres forståelse af emnet, men tilbyder også en syntese af flere andre områder, der skal udvikles. For eksempel, mens de bygger modellen, vil eleverne lære om optik gennem Snells lov, computerprogrammering, 3d -modellering, digital frabrikation og grundlæggende træbearbejdningsevner. Dette gør det muligt for en hel klasse at bidrage til at dele arbejdet indbyrdes, hvilket gør det til en teamindsats. Tiden det tager at lave dette projekt er omkring en uge og kan derefter demonstreres for klassen eller for yngre elever.

Der er ingen bedre måde at lære end gennem STEM, så følg med for at lave din helt egen fungerende brachistochron -model. Hvis du kan lide projektet, så stem på det i klasseværelseskonkurrencen.

Trin 1: Teoretisk problem

Brachistochron -problemet er et, der kredser om at finde en kurve, der forbinder to punkter A og B, der er i forskellige højder, således at B ikke er direkte under A, så at tabe en marmor under indflydelse af et ensartet tyngdefelt langs denne vej vil nå B hurtigst muligt. Problemet blev stillet af Johann Bernoulli i 1696.

Da Johann Bernoulli i juni 1696 stillede spørgsmålet om brachistochronen til læserne af Acta Eruditorum, som var en af de første videnskabelige tidsskrifter i de tysktalende lande i Europa, modtog han svar fra 5 matematikere: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus og Guillaume de l'Hôpital med hver sin unikke tilgang!

Advarsel: de følgende trin indeholder svaret og afslører skønheden bag denne hurtigste vej. Tag et øjeblik til at tænke over dette problem, måske du kan knække det ligesom et af disse fem genier.

Trin 2: Brug af Snells lov til at demonstrere

En af måderne til løsning af brachistochron -problemet er at tackle problemet ved at tegne analogier med Snells lov. Snell's Law bruges til at beskrive den vej, en lysstråle ville følge for at komme fra et punkt til et andet, mens han overgik gennem to forskellige medier ved hjælp af Fermats princip, der siger, at en lysstråle altid vil tage den hurtigste vej. En formel afledning af denne ligning kan findes ved at besøge følgende link.

Da et frit faldende objekt under påvirkning af tyngdefeltet kan sammenlignes med en lysstråle, der overgår gennem skiftende medier, hver gang lysstrålen støder på et nyt medie, bliver strålen lidt afveget. Denne afvigelses vinkel kan beregnes ved hjælp af Snells lov. Når man fortsætter med at tilføje lag med reducerende tætheder foran den afvigede lysstråle, indtil strålen når den kritiske vinkel, hvor strålen simpelthen bliver reflekteret, beskriver strålens bane brachistochron -kurven. (den røde kurve i diagrammet ovenfor)

Brachistochron -kurven er faktisk et cycloid, som er kurven, der spores af et punkt på kanten af et cirkulært hjul, mens hjulet ruller langs en lige linje uden at glide. Så hvis vi har brug for at tegne kurven, kan man simpelthen bruge metoden ovenfor til at generere den. En anden unik egenskab ved kurven er, at en bold frigivet fra ethvert punkt i kurven vil tage nøjagtig samme tid at nå bunden. De følgende trin beskriver processen med at lave et klasseværelseseksperiment ved at konstruere en model.

Trin 3: Praktisk eksperimentmodel

Modellen består af lasercut -stier, der fungerer som spor for kuglerne. For at demonstrere, at brachistochron -kurven er den hurtigste vej fra punkt A til B, besluttede vi at sammenligne den med to andre stier. Da ganske få mennesker intuitivt ville føle, at den korteste del er den hurtigste, besluttede vi at sætte en lige hældning, der forbinder begge punkter som den anden vej. Den tredje er en stejl kurve, da man ville føle, at det pludselige fald ville generere nok hastighed til at slå resten.

Det andet eksperiment, hvor kuglerne frigives fra forskellige højder på tre brachistochron -stier, resulterer i, at kuglerne når på samme tid. Således har vores model 3d -trykte guider, der giver let udskiftelighed mellem akrylpanelerne, så de kan udføre begge forsøg.

Endelig sikrer frigivelsesmekanismen, at kuglerne falder sammen, og tidsmodulet i bunden registrerer timerne, når kuglerne når bunden. For at opnå dette har vi integreret tre endestopkontakter, der aktiveres, når boldene udløser det.

Bemærk: Man kan simpelthen kopiere dette design og lave det af pap eller andre materialer, der er let tilgængelige

Trin 4: Nødvendige materialer

Her er dele og forsyninger til at lave en arbejdsmodel af brachistochrone -eksperimentet

HARDWARE:

1 "fyrretræsplank - dimensioner; 100 cm x 10 cm

Neodym Magnetx 4 - dimensioner; 1 cm i diameter og 0,5 cm i højden

3D-printfilament- PLA eller ABS er fine

M3 gevindindsats x 8 - (valgfri)

M3 Bolt x 8 - 2,5 cm lang

Træskrue x 3-6 cm lang

Træ Screwx 12 - 2,5 cm langt

ELEKTRONIK:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- disse kontakter fungerer som timingsystem

Trykknap

LCD display

Jumpwire x mange

De samlede omkostninger ved modellen kom på omkring 3 0 $

Trin 5: 3D -udskrivning

Flere dele som frigivelsesmekanismen og kontrolboksen blev lavet ved hjælp af en 3d -printer. Følgende liste indeholder det samlede antal dele og deres udskrivningsspecifikationer. Alle STL -filer findes i en mappe vedhæftet ovenfor, så en kan foretage de nødvendige ændringer, hvis det er nødvendigt.

Kontrolboks x 1, 20% fyldning

Vejledning x 6, 30% fyldning

End Stop x 1, 20% fyldning

Drejearm x 1, 20% fyldning

Pivot Mount x 1, 30% fyldning

Frigør stykke x 1, 20% fyldning

Delene blev trykt i PLA, da der ikke er nogen særlig belastning, der påvirker stykkerne. I alt tog det omkring 40 timers udskrivning.

Trin 6: Laserskæring af stierne

De forskellige stier, som vi designede på fusion 360, blev eksporteret som.dxf-filer og derefter laserskåret. Vi valgte uigennemsigtig hvid akryl med en tykkelse på 3 mm for at lave kurverne. Man kan endda lave det af træ med håndværktøj, men det er vigtigt at sikre, at det valgte materiale er stift, da fleksibilitet kan påvirke, hvordan kuglerne ruller ned.

6 x Brachistochrone -kurve

2 x stejl kurve

2 x lige kurve

Trin 7: Skæring af træet

Modellen er udført i træ. Vi valgte 1 "af 4" fyrretræ, da vi havde nogle tilbage fra et tidligere projekt, selvom man kan bruge et træ efter eget valg. Ved hjælp af en cirkelsav og en guide skærer vi to stykker træ i længden:

48 cm, hvilket er stiens længde

31 cm, hvilket er højden

Vi rensede de ru kanter op ved let at slibe det på skivesliberen.

Trin 8: Borning af hullerne

Inden du skruer de to stykker sammen, skal du markere træets tykkelse i den ene ende af bundstykket og centrere tre ækvidistante huller. Vi brugte en 5 mm bit til at oprette et pilothul på begge træstykker og forsænkede hullet på bundstykket for at tillade skruehovedet at blive spolt.

Bemærk: Vær forsigtig med ikke at splitte det lodrette træstykke, da man vil bore ned i endekornet. Brug også lange træskruer, da det er vigtigt, at rammen ikke ryster og toppen på grund af gearingen.

Trin 9: Indlejring af kølelegemene og magneterne

Da trådene i 3d-trykte dele har en tendens til at blive slidt over tid, besluttede vi at integrere kølelegemer. Hullerne er lidt underdimensionerede for at give kølelegemet bedre greb om plasten. Vi placerede M3 kølelegemer over hullerne og skubbede dem ind med spidsen af et loddejern. Varmen smelter plasten og lader tænderne kile sig ind. Sørg for, at de flugter med overfladen og er gået ind vinkelret. I alt er der 8 pladser til gevindindsatserne: 4 til låget og 4 til montering af Arduino Uno.

For at lette montering af timing -enheden har vi integreret magneter i kassen, hvilket gør det let at afmontere, hvis der nogensinde er behov for ændringer. Magneterne skal orientere den samme retning, før de skubbes på plads. S

Trin 10: Montering af grænsekontakter

De tre endestopkontakter er fastgjort til den ene side af timingenheden, der vender mod bunden af stierne. Når boldene klikker på switchene, kan man således bestemme, hvilken bold der først nåede, og vise timingen på et LCD -display. Lod på små ledningsstrimler til terminalerne og fastgør dem i åbningerne med en klat CA -lim, da de ikke skal løsne efter kontinuerlige slag.

Trin 11: LCD -skærm

Låget på timingenheden har en rektangulær udskæring til LCD -skærmen og et hul til "start" -knappen. Vi fastgjorde displayet med klatter varm lim, indtil det skyllede med lågets overflade og fikserede den røde knap med dens monteringsmøtrik.

Trin 12: Tilslutning af elektronikken

Ledningerne består i at forbinde de forskellige komponenter i de rigtige ben på Arduino. Følg ledningsdiagrammet vedhæftet ovenfor for at opsætte boksen.

Trin 13: Upload af koden

Arduino -koden til brachistochron -projektet kan findes vedhæftet nedenfor. Der er to åbninger i elektronikrummet for nem adgang til Arduinos programmeringsport og til strømstikket.

Den røde knap, der er fastgjort oven på boksen, bruges til at starte timeren. Når kuglerne ruller ned i kurverne og udløser grænsekontakterne, som er placeret i bunden, registreres timingen sekventielt. Efter at alle tre bolde har ramt, viser LCD -skærmen resultaterne, justeret med de respektive kurver (billeder vedhæftet ovenfor). Når du har noteret resultaterne, hvis en anden læsning er påkrævet, skal du blot trykke på hovedknappen igen for at opdatere timeren og gentage den samme proces.

Trin 14: 3D -udskrivningsguider

De guider, der blev trykt i 3d, havde en 3 mm materialebase, før støttevæggene startede. Derfor, når akrylpanelerne ville blive glidt på plads, ville der være et mellemrum mellem panelet og trærammen, hvilket formindsker banens stabilitet.

Derfor skulle guiden indlejres 3 mm i træet. Da vi ikke havde en router, tog vi den med til et lokalt værksted og fik den udført på en fræser. Efter lidt slibning passede udskrifterne godt til, og vi kunne sikre det med træskruer fra siden. Ovenstående er vedhæftet en skabelon til placering af de 6 guider på trærammen.

Trin 15: Tilføjelse af proppen og timingen

Da timingsmodulet var et separat system, besluttede vi at lave et hurtigt monterings- og afmonteringssystem ved hjælp af magneter. På denne måde kan man let programmere det kan simpelthen tage enheden ud. I stedet for at lave en skabelon til at overføre positionen af de magneter, der skal indlejres i træet, lader vi dem bare forbinde dem på kassen og derefter lægger en smule lim og placerer kassen på træstykket. Limmærkerne blev overført til træet, så vi hurtigt kunne bore hullerne på de nøjagtige steder. Tilslut endelig den 3D -trykte prop, og timingenheden skal sidde tæt, men alligevel kunne løsnes med et let træk

Trin 16: Udgivelsesmekanismen

Udgivelsesmekanismen er ligetil. Brug en møtrik og bolt til at slutte C -sektionen tæt til drejearmen, hvilket gør dem til et sikkert stykke. Bor derefter to huller i midten af det lodrette træ og fastgør beslaget. Skub et svingbart skaft, og mekanismen er fuldført.

Trin 17: Eksperimentet

Nu hvor modellen er klar, kan man lave følgende eksperimenter

Eksperiment 1

Skub forsigtigt akrylpanelerne i den lige sti, brachistochron -kurven og den stejle sti (i denne rækkefølge for den bedste effekt). Træk derefter låsen op, og placer de tre kugler øverst i kurven, og sørg for, at de er perfekt tilpasset hinanden. Hold dem stramt på plads med låsen nede. Få en elev til at slippe boldene, og en anden skal trykke på den røde knap for at starte timingsystemet. Endelig observer kuglerne rulle ned ad stien og analysere resultaterne, der vises på timingsmodulet. Opsætning af et kamera til optagelse af slowmotion -optagelser er endnu mere spændende, da man kan se løbet frame for frame.

Eksperiment 2

Ligesom det forrige eksperimentglas i akrylpanelerne, men denne gang skal alle stier være brachistonchrone -kurven. Bed omhyggeligt en elev om at holde de tre bolde i forskellige højder denne gang og trykke på den røde knap, når boldene slippes. Se det forbløffende øjeblik, da boldene står i perfekt rækkefølge inden målstregen, og bekræft observationerne med resultaterne.

Trin 18: Konklusion

Fremstillingen af brachistochron-modellen er en praktisk måde at se de magiske måder, hvorpå videnskaben fungerer. Eksperimenterne er ikke kun sjove at se og engagerende, men også en syntese af læringsaspekter. Selvom det primært er et projekt beregnet til gymnasieelever, både praktisk og teoretisk, kan denne demonstration let forstås af yngre børn og kan vises som en forenklet præsentation.

Vi vil gerne opfordre folk til at lave ting, uanset om det er en succes eller fiasko, for i slutningen af dagen er STEM altid sjovt! Glad for at lave!

Afgiv en stemme i klasseværelseskonkurrencen, hvis du kunne lide instruktionerne, og efterlad din feedback i kommentarfeltet.

Storpris i Classroom Science Contest