Gaussian og Parabola for at studere LED -lysstrømme fra en eksperimentel lampe: 6 trin

2024 Forfatter: John Day | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-30 08:25

Hej til alle beslutningstagere og til det travle samfund af Instructable.

Denne gang bringer Merenel Research dig et rent forskningsproblem og en måde at løse det på med matematik.

Jeg havde selv dette problem, mens jeg beregnede LED -fluxerne på en RGB LED -lampe, jeg byggede (og som jeg vil lære at bygge). Efter omfattende søgning på nettet fandt jeg ikke et svar, så her lægger jeg løsningen op.

PROBLEMET

Meget ofte i fysikken skal vi beskæftige os med kurver, der har form som den gaussiske fordeling. Ja! Det er den klokkeformede kurve, der bruges til at beregne sandsynlighed og blev bragt til os fra den store matematiker Gauss.

Gauss -kurve bruges i vid udstrækning i fysiske anvendelser i det virkelige liv, især når vi skal håndtere stråling, der spredes fra en kilde eller modtages fra en modtager, for eksempel:

- emission af effekten af et radiosignal (f.eks. Wi-Fi)

- lysstrømmen fra en LED;

- læsning af en fotodiode.

I producentdatabladet får vi ofte den faktiske værdi af Gaussian -området, som ville være den samlede stråleeffekt eller lysstrøm i en bestemt del af spektret (f.eks. Af en LED), men det bliver svært at beregne den faktiske stråling udsendes på kurvens top eller endnu vanskeligere at kende den overlappende stråling fra to tætte kilder, for eksempel hvis vi belyser med mere end en LED (f.eks. blå og grøn).

I dette instruerbare papir vil jeg forklare dig, hvordan du tilnærmer gausseren med en mere let at forstå kurve: en parabel. Jeg vil besvare spørgsmålet: hvor mange gaussiske kurver er der i en parabel?

SPOILER → SVARET ER:

Det gaussiske område er altid 1 enhed.

Arealet af den tilsvarende parabel med samme base og højde er 2,13 gange større end det relative gaussiske område (se billedet for den grafiske demonstration).

Så en Gaussian er 46,94% af sin parabel, og dette forhold er altid sandt.

Disse to tal er relateret på denne måde 0.46948 = 1/2.13, dette er den strenge matematiske relation mellem en gaussisk kurve og dens parabel og omvendt.

I denne guide vil jeg lede dig til at opdage dette trin for trin.

Det eneste instrument, vi får brug for, er Geogebra.org, et fantastisk online matematisk værktøj til at tegne diagrammer.

Geogebra -diagrammet, jeg lavede for at sammenligne en parabel med en gaussisk, kan findes på dette link.

Denne instruerbare er lang, fordi den handler om en demonstration, men hvis du hurtigt skal løse det samme problem, som jeg havde med LED -lysstrømme eller et andet fænomen med overlappende gaussiske kurver, skal du bare hoppe til regnearket, som du finder vedhæftet i trin 5 i denne vejledning, som vil gøre dit liv lettere og automatisk foretage alle beregninger for dig.

Jeg håber, at du kan lide anvendt matematik, fordi denne instruktive handler om det.

Trin 1: Forstå lys udsendt fra en monokromatisk LED

I denne analyse vil jeg overveje en række farvede LED'er, som du tydeligt kan se fra deres spektrumdiagram (første billede), deres spektrale effektfordeling virkelig ligner en Gaussian, der konvergerer til x -aksen ved -33 og +33nm af middelværdien (producenter giver normalt denne spec). Overvej dog, at repræsentationen af dette diagram normaliserer alle spektre på en enkelt kraftenhed, men lysdioder har forskellig effekt alt efter, hvor effektivt de fremstilles, og hvor meget elektrisk strøm (mA) du indfører i dem.

Som du nogle gange kan se, overlapper lysstrømmen fra to LED'er på spektret. Lad os sige, at jeg let vil beregne det overlappende område af disse kurver, for i det område vil der være den dobbelte mængde strøm, og jeg vil vide, hvor meget effekt i lumen (lm) vi har der, ja det er ikke en let opgave, vi prøver at besvare i denne vejledning. Problemet opstod, fordi da jeg byggede den eksperimentelle lampe, ville jeg virkelig vide, hvor meget det blå og grønne spektrum overlappede.

Vi fokuserer kun på monokromatiske lysdioder, som er dem, der udsender i en smal del af spektret. I diagrammet: ROYAL BLUE, BLUE, GREEN, ORANGE-RED, RED. (Den faktiske lampe jeg bygger er RGB)

FYSISK BAGGRUND

Lad os spole lidt tilbage og lave en lille smule fysikforklaring i starten.

Hver LED har en farve, eller mere videnskabeligt vil vi sige, at den har en bølgelængde (λ), der bestemmer den, og som måles i nanometer (nm) og λ = 1/f, hvor f er frekvensen for fotonets oscillation.

Så det vi kalder RØD er dybest set en (stor) flok fotoner, der svinger ved 630 nm, de fotoner rammer sagen og hopper i vores øjne, som fungerer som receptorer, og derefter behandler din hjerne objektets farve som RØD; eller fotoner kunne gå direkte ind i dine øjne, og du ville se LED'en, der udsender dem, der lyser i RØD farve.

Det blev opdaget, at det, vi kalder lys, faktisk bare er en lille del af det elektromagnetiske spektrum, mellem 380 nm og 740 nm; så lys er en elektromagnetisk bølge. Det, der er nysgerrigt ved den del af spektret, er, at det netop er spektret af spektret, der lettere passerer gennem vand. Gæt hvad? Vores gamle forfædre fra ursuppen var faktisk i vand, og det er i vandet, hvor de første, mere komplekse, levende væsener begyndte at udvikle øjne. Jeg foreslår, at du ser videoen af Kurzgesagt, jeg har vedhæftet, for bedre at forstå, hvad der er lys.

For at opsummere udsender en LED lys, hvilket er en vis mængde radiometrisk effekt (mW) ved en bestemt bølgelængde (nm).

Normalt, når vi har at gøre med synligt lys, taler vi ikke om radiometrisk effekt (mW), men om lysstrøm (lm), som er en måleenhed, der vejes ved reaktionen på synligt lys i menneskers øjne, udledes fra candela måleenhed, og den måles i lumen (lm). I denne præsentation vil vi overveje de lumen, der udsendes fra LED'er, men alt vil gælde for mW nøjagtigt i samme omfang.

I ethvert LED -datablad giver producenten dig disse oplysninger:

For eksempel fra dette vedhæftede datablad ser du, at hvis du driver begge led med 100mA, har du det:

BLÅ er på 480nm og har 11lm lysstrøm;

GRØNN er på 530 nm og har 35 lm lysstrøm.

Det betyder, at den gaussiske kurve af blå vil være højere, den vil stige mere uden at ændre sig i dens bredde, og den vil svinge omkring den del, der er afgrænset af den blå linje. I dette papir vil jeg forklare, hvordan man beregner højden af den gaussiske, der udtrykker den fulde spidseffekt, som LED'en udsender, ikke kun den effekt, der udsendes i den del af spektret, desværre vil denne værdi være lavere. Desuden vil jeg forsøge at tilnærme den overlappende del af de to lysdioder for at forstå, hvor meget lysstrøm der overlapper, når vi har at gøre med lysdioder, der er "naboer" i spektret.

Måling af strømmen af lysdioder er en meget kompleks sag. Hvis du er ivrig efter at vide mere, har jeg uploadet et detaljeret papir af Osram, der forklarer, hvordan tingene gøres.

Trin 2: Introduktion til parabolen

Jeg vil ikke gå ind på mange detaljer om, hvad der er en parabel, da det studeres grundigt på skolen.

En ligning af en parabel kan skrives i følgende form:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES HJÆLPER OSS

Det, jeg gerne vil understrege, er en vigtig geometrisk sætning af Archimedes. Sætningen siger, at arealet af en parabel, der er begrænset i et rektangel, er lig med 2/3 af rektangelområdet. På det første billede med parabolen kan du se, at det blå område er 2/3, og de lyserøde områder er 1/3 af arealet af rektanglet.

Vi kan beregne parabolen og dens ligning ved at kende tre punkter i parabolen. I vores tilfælde vil vi beregne toppunktet, og vi kender skæringspunkterne med x -aksen. For eksempel:

BLÅ LED Vertex (480,?) Toppunktets Y er lig med den lysstyrke, der udsendes ved maksimal bølgelængde. For at beregne det vil vi bruge den relation, der eksisterer mellem arealet af en gaussisk (faktisk flux udsendt af LED) og en af en parabel, og vi vil bruge Archimedes sætning til at kende højden af rektanglet, der indeholder denne parabel.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLISK MODEL

Når man ser på det billede, som jeg har uploadet, kan man se en kompleks model til at repræsentere flere forskellige LED -lysstrømme med paraboler, men vi ved, at deres repræsentation ikke ligefrem er sådan, da den ligner mere en gaussisk.

Men med paraboler kan vi ved hjælp af matematiske formler finde alle skæringspunkter for flere paraboler og beregne skæringsområderne.

I trin 5 har jeg vedhæftet et regneark, hvor jeg har lagt alle formlerne til at beregne alle parabolerne og deres skærende områder af de monokromatiske lysdioder.

Normalt er basen af Gaussian for en LED stor 66nm, så hvis vi kender den dominerende bølgelængde, og vi tilnærmer LED-strålingen med en parabel, ved vi, at den relative parabel skærer x-aksen i λ+33 og λ-33.

Dette er en model, der tilnærmer et totalt LED -udsendt lys med parabel. Men vi ved, at hvis vi vil være præcise, er det ikke helt rigtigt, vi skulle bruge en Gauss -kurve, hvilket bringer os til det næste trin.

Trin 3: Introduktion til den gaussiske kurve

En gaussisk er det en kurve, der vil lyde mere kompleks end en parabel. Det blev opfundet af Gauss for at fortolke fejl. Faktisk er denne kurve meget nyttig at se den sandsynlige fordeling af et fænomen. Så langt vi bevæger os mod venstre eller højre fra middelværdien, har vi et bestemt fænomen mindre hyppigt, og som du kan se på det sidste billede, er denne kurve en meget god tilnærmelse til virkeligheder.

Den gaussiske formel er den skræmmende, som du ser som andet billede.

De gaussiske egenskaber er:

- det er symmetrisk respekt for middelværdien;

- x = μ falder ikke kun sammen med det aritmetiske middel, men også med medianen og mode;

- det er asymptotisk ved x -aksen på hver side;

- det falder for xμ;

- den har to bøjningspunkter i x = μ-σ;

- arealet under kurven er 1 enhed (det er sandsynligheden for at et x ville verificere)

σ er standardafvigelsen, jo større tal jo bredere den gaussiske base er (første billede). Hvis en værdi er i 3σ -delen, ville vi vide, at den virkelig bevæger sig væk fra middelværdien, og der er mindre sandsynlighed for, at det sker.

I vores tilfælde, med lysdioder, kender vi området på Gaussian, som er lysstrømmen angivet i producentdatabladet ved en given bølgelængde -top (hvilket er middelværdien).

Trin 4: Demonstration med Geogebra

I dette afsnit vil jeg tekne dig, hvordan du bruger Geogebra til at demonstrere, at en parabel er 2,19 gange dens gaussiske.

Først skal du oprette et par variabler ved at klikke på kommandoen skyder:

Standardafvigelsen σ = 0,1 (standardafvigelsen definerer, hvor bred Gauss -kurven er, jeg satte en lille værdi, fordi jeg ville gøre det snævert for at simulere en LED -spektral effektfordeling)

Middelværdien er 0, så gausseren er bygget på y -aksen, hvor det er lettere at arbejde.

Klik på funktionen lille bølge for at aktivere funktionsafsnittet; der ved at klikke på fx kan du indsætte den gaussiske formel, og du vil se dukke op på skærmen en dejlig høj Gaussisk kurve.

Grafisk vil du se, hvor kurven konvergerer på x-aksen, i mit tilfælde i X1 (-0,4; 0) og X2 (+0,4; 0), og hvor toppunktet er i V (0; 4).

Med dette tre punkt har du nok information til at finde parabelens ligning. Hvis du ikke vil foretage beregninger i hånden, er du velkommen til at bruge dette websted eller regnearket i det næste trin.

Brug funktionskommandoen (fx) til at udfylde den parabelfunktion, du lige har fundet:

y = -25x^2 +4

Nu skal vi forstå, hvor mange gaussere der er i en parabel.

Du bliver nødt til at bruge funktionskommandoen og indsætte kommandoen Integral (eller Integrale i mit tilfælde, som jeg brugte den italienske version). Den bestemte integral er den matematiske operation, der giver os mulighed for at beregne arealet af en funktion, der er defineret mellem x værdier. Hvis du ikke kan huske, hvad en bestemt integral er, kan du læse her.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Denne Geogebra -formel løser det definerede integral mellem -0,4 og +0,4 for funktionen f, Gaussian. Da vi har at gøre med en gaussianer, er dens område 1.

Gør det samme for parabolen, og du vil opdage det magiske tal 2.13. Hvilket er nøgletallet for at udføre alle lysstrømskonverteringer med lysdioder.

Trin 5: Eksempel på virkeligheden med lysdioder: Beregning af Flux Peak og de overlappende Fluxes

LYSENDE FLUX PÅ TOPPEN

At beregne den faktiske højde af de omrørte gaussiske kurver for LED -fluxfordelingen, nu hvor vi har opdaget konverteringsfaktoren 2.19, er meget let.

for eksempel:

BLÅ LED har 11 lm lysstrøm

- vi konverterer denne flux fra gaussisk til parabolsk 11 x 2.19 = 24.09

- vi bruger Archimedes sætning til at beregne det relative rektangelområde, der indeholder parabolen 24,09 x 3/2 = 36,14

- vi finder højden af det rektangel, der deler sig for basen af Gaussian for den BLÅ LED, givet i databladet eller set på databladet, normalt omkring 66nm, og det er vores effekt på toppen af 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

OVERLAPPENDE LYSSTANDSFLUXOMRÅDER

For at beregne to overlappende stråler vil jeg forklare med et eksempel med følgende to lysdioder:

BLÅ er på 480nm og har 11lm lysstrøm GRØN er på 530nm og har 35lm lysstrøm

Vi ved, og vi ser fra diagrammet, at begge gaussiske kurver konvergerer i -33nm og +33nm, derfor ved vi, at:

- BLÅ skærer x -aksen i 447 nm og 531 nm

- GRØN skærer x -aksen i 497nm og 563nm

Vi ser tydeligt, at de to kurver skærer hinanden, da den ene ende af den første er efter begyndelsen af den anden (531 nm> 497 nm), så lyset fra disse to lysdioder overlapper hinanden på nogle punkter.

Vi er for det første nødt til at beregne parabelformlen for begge. Det vedhæftede regneark er der for at hjælpe dig med beregninger og har integreret formlerne til at løse ligningssystemet for at bestemme de to paraboler, der kender x -aksens skærende punkter og toppunktet:

BLÅ parabel: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

GRØN parabel: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

i begge tilfælde a> 0 og, så parabolen peger korrekt på hovedet.

For at bevise, at disse paraboler er rigtige, skal du blot udfylde a, b, c i toppunktsberegner på denne websted for parabelberegner.

På regnearket er alle beregninger allerede foretaget for at finde skæringspunkterne mellem parabolerne og for at beregne det deciderede integral for at opnå de skærende områder af disse paraboler.

I vores tilfælde er de skærende områder med blå og grønne LED -spektre 0,4247.

Når vi har de skærende paraboler, kan vi gange dette nystiftede skæringsområde for den gaussiske multiplikator 0.4694 og finde en meget tæt tilnærmelse af, hvor meget strøm LED'erne i alt udsender sammen i den del af spektret. For at finde den eneste LED -flux, der udsendes i den sektion, skal du blot dividere med 2.

Trin 6: Undersøgelsen af de monokromatiske lysdioder på den eksperimentelle lampe er nu færdig

Tak, mange tak fordi du læste denne undersøgelse. Jeg håber, det vil være nyttigt for dig at forstå dybt, hvordan lys udsendes fra en lampe.

Jeg studerede fluxerne af LED'erne på en speciel lampe lavet med tre typer monokromatiske LED'er.

"Ingredienserne" til at lave denne lampe er:

- 3 LED BLU

- 4 LED GRØN

- 3 LED RØD

- 3 modstande til begrænsning af strømmen i LED -kredsløbets grene

- 12V 35W strømforsyning

- Præget akrylbetræk

- OSRAM OT BLE DIM -kontrol (Bluetooth LED -styreenhed)

- Kølelegeme i aluminium

- M5 fed og nødder og L -beslag

Styr alt med Casambi APP fra din smartphone, du kan tænde og dæmpe hver LED -kanal separat.

Det er meget enkelt at bygge lampen:

- fastgør LED'en til kølelegemet med dobbeltsidet tape;

- lod alle BLU LED'erne i serie med en modstand, og gør det samme med den anden farve for hver gren af kredsløbet. I henhold til de lysdioder, du vælger (jeg brugte Lumileds LED), skal du vælge modstandsstørrelsen i forhold til, hvor meget strøm du vil tilføre LED'en og til den samlede spænding, der er givet af strømforsyningen på 12V. Hvis du ikke ved, hvordan du gør dette, foreslår jeg, at du læser denne gode instruktion om, hvordan du bestemmer størrelsen på en modstand for at begrænse strømmen af en række lysdioder.

-tilslut ledningerne til hver kanal i Osram OT BLE: alle de primære positive af LED'ernes grene går til den fælles (+) og de tre negativer af grenene går henholdsvis til -B (blå) -G (grøn) -R (rød).

- Tilslut strømforsyningen til indgangen på Osram OT BLE.

Hvad der nu er fedt med Osram OT BLE er, at du kan oprette scenarier og programmere LED -kanalerne, som du kan se i den første del af videoen, jeg dæmper de tre kanaler, og i den anden del af videoen bruger jeg nogle færdiglavede lysscenarier.

KONKLUSIONER

Jeg har i vid udstrækning brugt matematik til dybt at forstå, hvordan fluxerne i disse lamper ville forplante sig.

Jeg håber virkelig, at du har lært noget nyttigt i dag, og jeg vil gøre mit bedste for at bringe til instruerbare flere tilfælde af dybtgående anvendt forskning som denne.

Forskning er nøglen!

Så længe!

Pietro